| Wichtige Defintionen: Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle |
Eine Funktion f ist stetig an einer Stelle x0 =Df.
(1) f ist bei x0 definiert
(2) f hat bei x0 einen Grenzwert und
(3) Funktionswert und Grenzwert bei x0 stimmen überein.
Ist eine der drei Bedingungen nicht erfüllt, dann heißt f an der Stelle x0 unstetig. |
| Übung 1: Welche Funktion ist laut Definition stetig an der Stelle x0=1, bzw.
welche der drei Bedingungen sind bei vorliegender Unstetigkeit nicht erfüllt? |
stetig?
(1)?
(2)?
(3)?
|
stetig?
(1)?
(2)?
(3)?
|
stetig?
(1)?
(2)?
(3)?
|
stetig?
(1)?
(2)?
(3)?
|
| Ergebnis der Übung 1: |
| Weitere Definitionen: |
Ist eine Funktion f an jeder Stelle eines Intervalls I stetig, dann gilt die Aussage:
f ist in I stetig.
Ist eine Funktion f an jeder Stelle im Definitionsbereich stetig, dann gilt die Aussage:
f ist stetig oder auch
f ist eine stetige Funktion. |
Übung 2: Es ist zu untersuchen, ob die Funktion f mit der Gleichung f(x) = x-1
(I) an der Stelle x0 = 1 stetig ist,
(II) im Intervall I(-2 | 2) stetig ist bzw.
(III) eine stetige Funktion ist. |
Zu (I): Ist f(x) = x-1 an der Stelle x0 = 1 stetig?
Nachweis mit Definition zur Stetigkeit:
(1) f(1) =
(2) 
(3) f(1)?
ja
nein
Schlussfolgerung: f ist stetig bei x0 = 1
ja
nein |
Die Antwort ist |
Zu (II): Ist f(x) = x-1 im Intervall I(-2 | 2) stetig, wenn bekannt ist,
dass f bei x0 = 0 unstetig ist?
ja
nein |
Die Antwort ist |
Zu (III): Ist f(x) = x-1 eine stetige Funktion?
ja, weil sie an jeder
Stelle x0 ≠ 0 im Definitionsbereich stetig ist.
nein, weil sie an der Stelle x0 = 0
unstetig ist. |
Die Antwort ist |
