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Karte A23 - Analysis - Grenzwerte (3) von (3)
[Zahlenfolgen] [Grenzwerte] [Stetigkeit] [Differentiation] [Integration]
[1] [2] [3] [1] [2] [3] [1] [2] [3] [1] [2] [3] [1] [2] [3]

Ergebnis:
Merke: Grenzwertberechnungen sind ein wichtiges Hilfsmittel z.B. zur Problemlösung in der Differential- und Integralrechnung. So ist der Differentialquotient einer Funktion f an der Stelle x0 der Grenzwert des Differenzenquotienten. Und das bestimmte Integral ist der Grenzwert einer Partialsummenfolge von Flächenelementen im Intervall I[a,b] unterhalb einer Funktion f im 1. Quadranten.
Des weiteren untersucht die Schulmathematik mit Hilfe von Grenzwerten das Verhalten von Funktionen im Unendlichen, ermittelt Asymptotengleichungen und Polstellenumgebungen und löst Unendlichkeitsphänomene (siehe Beispiele unten).
Übungen: Unendlichkeitsphänomene
Schlange Beispiel A) Das Bild zeigt eine Schlange in Form aneinander gelegter Halbkreise. Der erste Halbkreis mit der Bogenlänge b1 hat den Radius r. Der Radius jedes weiteren Halbkreises ist halb so groß wie der Radius seines unmittelbaren Vorgängers. (Quelle: LB Ma 11, VuW 1981, S. 123 ff)
1) Die Längen b1, b2, b3,...,bn,... der Halbkreisbögen bilden eine unendliche geometrische Folge (bn). Es gilt: b1 = πr. Geben Sie eine explizite Zuordnungsvorschrift dieser Folge in Abhängigkeit von r an.
a) b) c) d)
(bn) = (2π r n) (bn) = (π r /2(n-1)) (bn) = (π r /2n) (bn) = (π r /2)
2) Die Summe sn der ersten n Glieder der Folge (bn) kann mit Hilfe der allgemeinen Summenformel für geometrische Zahlenfolgen sn = b1 (qn-1) / (q-1) berechnet werden. Wie lautet die konkrete Summenformel für die Summe der Halbkreise? (Hinweis: q ist der Quotient der geometrischen Folge (bn)).
a) b) c) d)
(sn) = (2πr(1-1/2n)) (sn) = (π r /(n-1)) (sn) = (π r 2n) (sn) = (2π r)
3) Der Grenzwert der Summe sn für n → ∞ beschreibt die Länge L der unendlich langen Schlange. Wie lang ist die Schlange, wenn für den Radius die Länge r=1 angenommen wird? (Hinweis: Berechne lim(sn) für n → ∞)
b) c) d) a)
L = lim(sn) = π L = lim(sn) = 6 L = lim(sn) = ∞ lang L = lim(sn) = 2π
Schnecke Beispiel B) Gegeben sei ein regelmäßiges in den Einheitskreis einbeschriebenes Achteck. Man fälle von einer Ecke P0 das Lot auf den Radius, der zu einer benachbarten Ecke des Achtecks gezogen ist. Der Lotfußpunkt sei P1. Von diesem fälle man wiederum das Lot auf den Radius, der zur nächsten Ecke des Achtecks führt usw. Wir erhalten eine Schnecke, die aus aneinander gereihten Loten besteht (siehe Bild). (Quelle: LB Ma 11, VuW 1981, S. 123 ff)
1) Die Längen p1=P0P1, p2=P1P2, p3=P2P3,...,pn=P(n-1)Pn,... der Lote bilden eine unendliche geometrische Folge (pn). Es gilt: p1 = √(0.5). Ermitteln Sie p2 und p3. Wie lautet die explizite Zuordnungsvorschrift dieser Folge (pn)?
a) b)
pn_1 pn_2
c) d)
pn_3 pn_4
2) Die Summe sn der ersten n Glieder der Folge (pn) kann mit Hilfe der allgemeinen Summenformel für geometrische Zahlenfolgen sn = p1 (qn-1) / (q-1) berechnet werden. Wie lautet die konkrete Summenformel für die Summe der Lote? (Hinweis: q ist der Quotient der geometrischen Folge (pn)).
a) b)
pn_1 pn_2
c) d)
pn_3 pn_4
3) Der Grenzwert der Summe sn für n → ∞ beschreibt die Länge L der unendlich langen Schnecke. Wie lang ist die Schnecke? (Hinweis: Berechne lim(sn) für n → ∞)
a) b) c) d)
L = lim(sn) = π L = lim(sn) = √(0.5)+1 L = lim(sn) = ∞ lang L = lim(sn) = 2π