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Karte A21 - Analysis - Grenzwerte (1) von (3)
[Zahlenfolgen] [Grenzwerte] [Stetigkeit] [Differentiation] [Integration]
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Wichtige Defintionen: Grenzwert einer Zahlenfolge
Eine Zahlenfolge (ak) hat den Grenzwert g =Df. Für jedes e > 0 gilt für fast alle k aus N:
ak liegt innerhalb der e-Umgebung von g.
Als e-Umgebung versteht man das Intervall (g-e < g < g+e).
Oder:
Eine Zahlenfolge (ak) hat den Grenzwert g =Df. Für jedes e > 0 gilt für fast alle k aus N:
|ak - g| < e.
Übung: Wie viele Zahlenfolgenglieder liegen außerhalb der e-Umgebung von g?.
(ak)=zf1
mit g=2 und e=0,01 folgt:
Ansatz:
zf1_ans
Lösung der Ungleichung:
k >
Außerhalb liegen also:
Zahlenfolgenglieder.
Die Antwort ist
(ak)=zf2
mit g=7/3 und einer 0,05-Umgebung folgt:
Ansatz:
zf2_ans
Lösung der Ungleichung:
k >
Außerhalb liegen also:
Zahlenfolgenglieder.
Die Antwort ist
(ak)=zf3
mit g=3 und einer -Umgebung folgt:
Ansatz:
zf3_ans <
Lösung der Ungleichung (max. auf 2 Stellen nach Komma genau):
k >
Außerhalb liegen also:
Zahlenfolgenglieder.
Die Antwort ist
Wichtige Defintionen:
Eine Zahlenfolge, die einen Grenzwert hat, heißt konvergent.
Folgen, die keinen Grenzwert haben, heißen divergent.
Hat eine Folge den Grenzwert 0, dann heißt sie auch Nullfolge (NF).
Konstante Folgen (ak) = (c) haben den Grenzwert c.
Ist eine Folge konvergent, dann hat sie genau einen Grenzwert.
Man schreibt dafür auch kurz: Grenzwert
Wichtiger Satz: Grenzwertsatz für Zahlenfolgen
Wenn die Folgen (ak) und (bk) konvergieren, so konvergieren auch die Folgen (ak + bk), (ak - bk) (ak * bk) und (ak / bk), falls (bk)) keine Nullfolge ist.
Übung: Für die folgenden Folgen sollen Grenzwerte mit Hilfe des Grenzwertsatzes berechnet werden.
Grenzwertsatz1 Die Antwort ist
Grenzwertsatz2 Die Antwort ist
Grenzwertsatz3 Die Antwort ist
Merke: Ergänze die drei Merksätze!
1. Sind die Potenzen von k im Zähler und Nenner gleich, dann ist der Grenzwert der Folge gleich dem aus den vor den Potenzen. Die Antwort ist
2. Befindet sich die Potenz von k im Zähler, dann ist die Folge divergent. Die Antwort ist
3. Befindet sich die höchste Potenz von k im , dann handelt es sich um eine Nullfolge (NF). Die Antwort ist